Schrödingers wiederentdecktes Manuskript stellt den Zufall der Quantenwelt infrage

Am Constructor-Standort in Bremen führt ein Fund aus Wien zurück in eine alte, noch immer nicht erledigte Streitfrage der Physik: Ist der Zufall in der Quantenwelt grundlegend – oder steckt dahinter doch eine verborgene Ordnung?

Im Schrödinger-Archiv der Universität Wien wurde ein unveröffentlichtes, dreiseitiges Manuskript Erwin Schrödingers entdeckt. Der undatierte Text trägt den Titel „Collapse of Determinism“, entstand nach dem 25. November 1944 und wurde nie gedruckt. Flavio Del Santo von der Universität Genf und der Constructor University hat das Manuskript ausgewertet und eine vollständige Abschrift auf arXiv veröffentlicht.

Ein alter Streit über den Zufall

In der klassischen Physik gilt Zufall meist als Folge unbekannter Einflussgrößen. Beim Münzwurf etwa scheint das Ergebnis zufällig, ließe sich aber theoretisch aus Wurfbewegung, Luftwiderstand, Drehung und Untergrund erklären. Die Quantenmechanik geht bei einzelnen Messungen anders vor: Sie liefert Wahrscheinlichkeiten, nicht zwingend ein festgelegtes Ergebnis.

Hypothetische, nicht beobachtete Eigenschaften, die ein Messergebnis bereits im Voraus bestimmen, heißen „verborgene Variablen“ oder „verborgene Parameter“. Ihnen wird in bestimmten deterministischen Interpretationen physikalische Realität zugeschrieben. Sie sollen den Zufall der nichtdeterministischen Standardinterpretation auf deterministische Mechanismen zurückführen. „Verborgen“ bedeutet dabei zunächst nur, dass diese Parameter in der Standardinterpretation nicht vorkommen – nicht automatisch, dass sie prinzipiell unmessbar wären.

Der Begriff geht auf John von Neumann zurück. In Die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, 1932 bei Springer erschienen, argumentierte er, die Quantenmechanik könne nicht durch verborgene Variablen ergänzt werden. Der Unmöglichkeitsbeweis steht im Kapitel über den Messprozess. Grete Hermann kritisierte bereits 1935 dessen Allgemeingültigkeit, doch ihre Einwände blieben zunächst weitgehend unbeachtet. Die Suche nach entsprechenden Modellen kam laut Del Santo daraufhin für mehr als ein Jahrzehnt nahezu zum Erliegen.

1943 und 1944 griffen Edmund Taylor Whittaker und Satyendra Nath Bose die Frage unabhängig voneinander wieder auf. Beide vertraten die These, die Quantenmechanik habe das Dogma einer streng vorherbestimmten Natur erschüttert. Ein Bericht über Boses Vortrag erschien im Juli 1944 in Nature unter dem Titel „Collapse of Determinism“. Die anschließende Debatte dauerte etwa ein Jahr und umfasste elf Beiträge.

Schrödingers Rechenmodell

Whittaker veranschaulichte sein Argument mit einzelnen Photonen und einem drehbaren Polarisationsfilter. Nach dem Gesetz von Malus hängt die Durchlasswahrscheinlichkeit vom Quadrat des Kosinus des Winkels zwischen Photonpolarisation und Filterausrichtung ab. In Whittakers Modell besaß jedes Photon als verborgene Variable nur einen von zwei Werten: „durchlassen“ oder „zurückwerfen“.

Der Haken lag für Whittaker darin, dass der Filter erst während des Fluges der Photonen gedreht werden kann. Die zuvor festgelegten Werte könnten sich nicht anpassen. Daraus folgerte er, eine Beschreibung durch verborgene Variablen sei unmöglich. Gilbert West wandte ein, zusätzlich müssten Eigenschaften des Filterkristalls berücksichtigt werden. Heinrich Pelzer veröffentlichte 1944 erste Modelle, die Whittakers Schlussfolgerung infrage stellten.

Schrödinger setzte genau bei der Zwei-Werte-Annahme an. Er ordnete jedem Photon eine verborgene Zahl zwischen 0 und 1 zu, gleichmäßig verteilt. Ein Photon passiert den Filter, wenn seine Zahl mindestens so groß ist wie das Quadrat des Sinus des Filterwinkels. Für viele Photonen entsteht daraus exakt die von Malus vorhergesagte Durchlassrate.

Das Messergebnis hängt in diesem Modell vom Zusammenspiel der verborgenen Zahl mit der Filterstellung ab; wann der Filter gedreht wird, spielt keine Rolle. Nach einem ersten Filter bleiben allerdings nur Photonen mit bestimmten Zahlenwerten übrig. Für weitere Filter legte Schrödinger deshalb eine feste Rechenregel fest, nach der sich die verborgene Zahl beim Durchgang verändert. So bleiben die durchgelassenen und die zurückgeworfenen Photonen wieder gleichmäßig verteilt.

Del Santo zeigt, dass Schrödingers Modell auch bei mehreren hintereinandergeschalteten Filtern die Vorhersagen der Quantenmechanik reproduziert. Damit geht es über Pelzers Modell hinaus: Dieses war für einen Filter gleichwertig, enthielt aber keine eindeutige deterministische Regel für mehrere Filter.

Der Ein-Bit-Ansatz scheitert laut Del Santo übrigens nicht speziell an der Quantenphysik. Auch beim Münzwurf würde ein einziges Bit nicht ausreichen, wenn sich der Untergrund während des Fluges verändern könnte. Das klingt zunächst nach einer Nebensache, trifft aber den Kern der Argumentation ziemlich genau.

Was Schrödinger wirklich verteidigte

Im zweiten Teil des Manuskripts stimmt Schrödinger Piaggio zu, dass auch mathematisch strenge Argumente wie von Neumanns Beweis nur begrenzten Aussagewert haben. Experimente und logische Deduktionen könnten nicht beweisen, dass entweder Determinismus oder Indeterminismus grundsätzlich unmöglich sei. Sie könnten höchstens zeigen, dass eine Sichtweise wegen unbegründeter Zusatzannahmen besonders unpraktisch ist.

Schrödinger bezeichnete den Indeterminismus anschließend als die stärkere Sichtweise. Die Vorstellung gesetzmäßiger Naturvorgänge sei historisch aus Ereignissen entstanden, die auf statistischen Gesetzen beruhen. Später hätten Menschen hinter statistischen Beobachtungen eine zusätzliche „wahre mikroskopische Gesetzmäßigkeit“ vermutet. Sollte diese Zusatzannahme unnötig sein, würde das laut Schrödinger zu einem einheitlicheren Weltbild führen.

Del Santo ordnet diese Haltung Schrödingers bereits den frühen 1920er-Jahren zu. Unter dem Einfluss des Wiener Physikers Franz Exner betrachtete Schrödinger Naturgesetze als grundsätzlich statistisch und Determinismus als philosophisches Vorurteil. Auch das Katzen-Gedankenexperiment von 1935 zielte laut Del Santo nicht primär auf den Zufall, sondern auf die Übertragung von Quantenüberlagerungen auf Alltagsgegenstände.

Warum Schrödinger das Manuskript nicht veröffentlichte, ist nicht belegt. Del Santo hält es für möglich, dass Schrödinger durch die Debatte in Nature auf Pelzers Arbeit aufmerksam wurde und den zentralen Punkt damit als geklärt betrachtete. Im März 1945 beendete Piaggio die Debatte mit einer Zusammenfassung und einem Kompromiss: Die Existenz von Kausalität sei nicht widerlegt.

Schrödinger lebte zu dieser Zeit in Dublin und leitete dort seit 1940 die Schule für Theoretische Physik am Dublin Institute for Advanced Studies. Die drei handschriftlichen Seiten sind als Digitalisat der Universität Wien verfügbar.

Von Neumann, Bell und die verschränkte Welt

Verborgene-Variablen-Theorien sind meist mit philosophischem Realismus verbunden und werden deshalb auch als realistische Interpretationen bezeichnet. Aus einer deterministischen Theorie könnten grundsätzlich Messverfahren für verborgene Parameter abgeleitet werden. Bei Theorien wie der De-Broglie-Bohm-Theorie ist jedoch gezeigt, dass sie dieselben empirischen Vorhersagen wie die nichtrelativistische Standardquantenmechanik machen; ihre verborgenen Parameter sind daher prinzipiell nicht messbar.

Man unterscheidet lokale und nichtlokale verborgene Variablen. Lokale Theorien erfüllen die Bellsche Ungleichung, sofern die Variablen der beobachteten Teilchen statistisch unabhängig von den Messeinstellungen am jeweils anderen Detektor sind. Die Quantenmechanik verletzt diese Ungleichung. Das stimmt mit den nach Alain Aspect benannten Experimenten zum Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon überein.

Daraus folgt: Eine Beschreibung der Wirklichkeit mit lokalen verborgenen Variablen ist nicht möglich, sofern man nicht zusätzlich annimmt, dass die Messeinstellungen in Bell-Experimenten niemals unabhängig von den beobachteten Systemen gewählt werden können. Ohne die angenommene statistische Unabhängigkeit von Teilchenvariablen und Messeinstellungen lässt sich die für die Bell-Ungleichung erforderliche Unabhängigkeit der Messergebnisse am einen Detektor von den Einstellungen am anderen nicht voraussetzen.

In solchen Theorien wären die dynamischen Gesetze lokal-realistisch und deterministisch, die Anfangsbedingungen jedoch so gewählt, dass die Bell-Ungleichung dennoch verletzt wird. Diesen Ansatz verfolgen nur sehr wenige Physiker.

Die bekannteste Theorie mit nichtlokalen Variablen ist die De-Broglie-Bohm-Theorie von Louis de Broglie und David Bohm. Sie ist deterministisch und