Eine Brezel kann mehr sein als ein salziges Gebäck zum Bier. In der Topologie wird ihre Oberfläche zum Modell für eine ganze Welt von Flächen. Gaëtan Borot, Mathematikprofessor an der Humboldt-Universität zu Berlin, möchte solche Gedanken auch Menschen zugänglich machen, die nicht mit Formeln aufgewachsen sind. Wissenschaft, sagt sein Ansatz, muss man nicht fachlich beherrschen, um sie als Teil des kulturellen Lebens zu erleben.

Borot vergleicht Wissenschaft deshalb mit dem Filmemachen: Auch ein Film lässt sich genießen, ohne dass man Kamera, Schnitt oder Dramaturgie studiert hat. Gemeinsam mit dem Klangkünstler Michael Winter entwickelte er Musikstücke, deren Strukturen auf Eigenschaften rationaler Zahlen beruhen. Bei der Langen Nacht der Wissenschaften erzählte Borot außerdem gemeinsam mit Demian Goos mathematische Geschichten. Die Beiträge wurden auch als Audiotexte veröffentlicht.

Warum Mathematiker von Hosen sprechen

Eine „Hose“ ist in der Topologie eine Fläche mit drei Randkomponenten. Sie dient als Grundbaustein, um komplexe Flächen in überschaubare Teile zu zerlegen. Das klingt zunächst nach Schneiderwerkstatt, wird aber schnell anschaulich: Eine Laugenbrezel besitzt drei Griffe beziehungsweise „Löcher“ und kann in vier Y-förmige Stücke zerlegt werden.

Entfernt man aus einem solchen Y-förmigen Stück das Innere, ähnelt es einer Hose. Daher die Bezeichnung. Die Oberfläche der Brezel ist dabei eine zusammenhängende, geschlossene und orientierbare Fläche.

Was eine Fläche ist, lässt sich sich mit einem kleinen Insekt vorstellen: Es läuft auf einem Raum entlang zweier grundlegender Richtungen und kann durch viele Schritte jeden Punkt erreichen. „Geschlossen“ bedeutet, dass dieser Raum keinen Rand besitzt und das Insekt sich nicht unendlich weit vom Ausgangspunkt entfernen kann. Eine Bettdecke ist wegen ihres Randes nicht geschlossen; die euklidische Ebene gilt wegen ihrer theoretisch unendlichen Ausdehnung ebenfalls als nicht geschlossen.

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Orientierbar ist eine Fläche, wenn sich für das darauf laufende Insekt links und rechts nicht vertauschen. Beim Möbiusband und bei der Kleinschen Flasche geschieht genau das: Sie sind Beispiele für nicht orientierbare Flächen. Zusammenhängend heißt schlicht, dass die Fläche aus nur einem Stück besteht.

Die Zahl der Griffe lässt sich an vertrauten Gegenständen ablesen: Die Erde beziehungsweise eine Orange hat keinen Griff, eine Tasse einen, ein Brillenrahmen zwei und eine Brezel drei. Sogar ein Insekt, das ausschließlich auf der Oberfläche unterwegs ist, kann die Anzahl der Löcher erkennen. Es folgt dazu einer geschlossenen Laufbahn, die nicht der Rand eines einzelnen Flecks sein kann.

Von der Brezel zur Klassifikation

In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts trugen unter anderem Riemann, Klein, Poincaré, Koebe und Dehn zur Klassifikation von Flächen bei. Ihr Ergebnis: Jede zusammenhängende, geschlossene und orientierbare Fläche entspricht entweder einer Kugel- beziehungsweise Orangenoberfläche mit g=0, einer Tassenoberfläche mit g=1 oder einer elastischen Brezel mit g Griffen. Andere Gestalten sind für diese Flächen nicht möglich.

Jede solche Fläche lässt sich durch 3g-3 Schnitte in 2g-2 Hosen zerlegen. Die Zahl 2g-2 heißt Charakteristik der Fläche und bestimmt ihre Gestalt eindeutig. Sie ist zugleich ein Maß für die Komplexität: Je größer sie ist, desto mehr Hosen braucht man zur Darstellung. Mathematiker:innen untersuchen deshalb einzelne Hosen, weil sich aus ihnen häufig Eigenschaften der gesamten Fläche ableiten lassen.

Der Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten ordnet zusammenhängende Flächen in Klassen ein. Er beschreibt nicht nur, welche Repräsentanten diese Klassen besitzen und wie sie erzeugt werden, sondern auch, wie sich prüfen lässt, ob zwei Flächen derselben Klasse angehören.

Für geschlossene, zusammenhängende Flächen lautet die präzise Fassung: Jede ist homöomorph zu genau einem von drei Raumtypen – der 2-Sphäre, einer verbundenen Summe von Tori oder einer verbundenen Summe von projektiven Ebenen. Die ersten beiden Typen sind orientierbar und lassen sich als Kugeln mit angeklebten Henkeln auffassen. Die nichtorientierbaren Flächen werden durch verbundene Summen projektiver Ebenen beschrieben.

Wie man Flächen auseinanderhält

Eine gleichwertige Aussage betrifft kompakte Flächen: Zwei von ihnen sind genau dann homöomorph, wenn sie dieselbe Euler-Charakteristik besitzen und beide orientierbar oder beide nicht orientierbar sind. Für die Klassifikation müssen also die Euler-Charakteristik und die Orientierbarkeit bestimmt werden.

Der Beweis führt in mehreren Schritten durch die Fläche: Zuerst wird sie trianguliert, anschließend ein Fundamentalpolygon konstruiert. Kantenfolgen aa-1 werden entfernt, alle Polygonecken zu einem Punkt identifiziert und zusammengehörige Kanten a und a in der Nachbarschaft angeordnet. Danach entstehen Kantenfolgen aba-1b-1. Außerdem wird die verbundene Summe aus projektiver Ebene und Torus in eine verbundene Summe dreier projektiver Ebenen umgewandelt.

Bis zu diesem achten Schritt ist gezeigt, dass jede Fläche homöomorph zu einer 2-Sphäre, einer verbundenen Summe von Tori oder einer verbundenen Summe von projektiven Ebenen ist. Offen bleibt zunächst, ob verbundene Summen mit unterschiedlichen Anzahlen von Tori beziehungsweise projektiven Ebenen vielleicht doch homöomorph sein könnten.

Hier kommt die Euler-Charakteristik ins Spiel. Sie ist eine topologische Invariante und damit ein brauchbares Unterscheidungskriterium. Für die verbundene Summe zweier Flächen gilt:

χ(S1#S2) = χ(S1) + χ(S2) − 2.

Für eine verbundene Summe von n Tori ergibt sich χ = 2 − 2n, für eine verbundene Summe von n projektiven Ebenen χ = 2 − n. Haben zwei solche Summen unterschiedliche Anzahlen von Tori beziehungsweise projektiven Ebenen, unterscheiden sie sich auch in ihrer Euler-Charakteristik und können daher nicht homöomorph sein.

Die mathematische Einordnung steht damit neben der anschaulichen Brezel, der Tasse und dem Brillenrahmen. Als Literatur wird ein Werk von Wladimir G. Boltjanski und Vadim A. Efremowitsch zur kombinatorischen Topologie angegeben. Außerdem verweist der Kontext auf einen Wikipedia-Beitrag zur Klassifikation der Flächen, dessen letzte Änderung mit dem 12. Februar 2025 angegeben ist. Schauplatz der hier beschriebenen Vermittlung ist die HU Berlin; heute ist der 8.11.2026.