Am 12. Oktober 2026 war Raschau für Prof. Dr. Melina Freitag ein Heimspiel im wörtlichen Sinn. Die Mathematikprofessorin von der Universität Potsdam kehrte in ihre frühere Heimat zurück – dorthin, wo sie aufgewachsen ist und zunächst die Paul-Blechschmidt-Oberschule besuchte.

In der Aula der Grundschule Raschau sprach Freitag unter dem Titel „Heimspiel Wissenschaft“ über ihre Arbeit. Viele Menschen aus dem Ort, die sie von früher kennen, kamen zum Vortrag. Für eine Wissenschaftlerin, die sonst vor Hunderten Studierenden in Potsdam oder bei internationalen Veranstaltungen spricht, war das ein anderer Rahmen: näher dran, vertrauter, wahrscheinlich auch ein bisschen aufregender.

Wenn Daten, Modelle und Heimat zusammenkommen

Freitag arbeitet mit großen Datenmengen. Ihr Forschungsgebiet liegt unter anderem in der Datenassimilation, bei der Messdaten mit mathematischen und dynamischen Modellen verbunden werden. Das klingt zunächst nach einer ziemlich trockenen Angelegenheit, reicht aber bis zu Wetter- und Meeresvorhersagen, medizinischer Bildrekonstruktion, Strömungssimulationen und der Auswertung spektroskopischer Messungen.

Ein roter Faden in ihrer wissenschaftlichen Arbeit ist die Frage, wie hochdimensionale und rechenintensive Probleme handhabbar werden. In der Publikation „Dimension and model reduction approaches for linear Bayesian inverse problems with rank-deficient prior covariances“ aus dem Jahr 2026, verfasst mit Josie König und Elizabeth Qian und erschienen in Computational Science and Engineering, Band 3, Artikel 7, bei Springer Nature, geht es um Bayesianische inverse Probleme. Dabei wird eine Prior-Verteilung anhand beobachteter Daten zu einer Posterior-Verteilung aktualisiert.

Hohe Parameterdimensionen machen solche Berechnungen aufwendig, weil hochdimensionale Stichproben und Vorwärtsmodelle nötig sind. Häufig sind die Daten aber nur in einem niedrigdimensionalen Unterraum des Parameterraums informativ. Die Autorinnen und Autoren schlagen deshalb neue Verfahren zur Dimensions- und Modellreduktion für lineare Bayesianische inverse Probleme mit rangdefizienten Prior-Kovarianzmatrizen vor. Die Dimensionsreduktion ist auf allgemeine lineare Bayesianische inverse Probleme anwendbar; die Modellreduktion wurde speziell für die Schätzung des Anfangszustands eines linearen dynamischen Systems entwickelt. Theoretische Approximationsgarantien und numerische Experimente zeigen Genauigkeit und Recheneffizienz.

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Von Helmholtz bis Tomografie

Wie breit dieses Arbeitsfeld ist, zeigt ein Blick auf Freitags Veröffentlichungen aus dem Jahr 2025. Gemeinsam mit S. Correnty und K. Soodhalter untersuchte sie in „Chebyshev HOPGD with sparse grid sampling for parameterized linear systems“, erschienen in Calcolo, Band 62, auf 28 Seiten bei Springer Nature, große, dünn besetzte, nichtsinguläre lineare Systeme (A(mu_1,mu_2)x(mu_1,mu_2)=b), deren Abhängigkeit von zwei Parametern nichtlinear ist. Solche Systeme entstehen bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen.

Der vorgeschlagene Ansatz kombiniert Companion-Linearisierung, ein vorkonditioniertes BiCG-Krylov-Verfahren und eine Tensorzerlegung vorab berechneter Lösungen, sogenannter „Snapshots“. Daraus entsteht ein Reduced-Order-Modell für (x(mu_1,mu_2)), das für viele Parameterwerte kostengünstig ausgewertet werden kann. Eine Interpolation liefert Näherungen im gesamten Parameterraum. Die Methode lässt sich auch für Parameterschätzprobleme und auf mehr als zwei Parameter erweitern. Numerische Beispiele zur parametrisierten Helmholtz-Gleichung zeigen ihre Leistungsfähigkeit; Simulationen und Software sind online verfügbar. Für viele Parameterpaare werden deutlich weniger Anwendungen des iterativen Verfahrens benötigt.

Mit I. Daužickaitė, S. Gürol, A. S. Lawless, A. Ramage, J. A. Scott und J. M. Tabeart veröffentlichte Freitag 2025 außerdem „An Introduction to Solving the Least-Squares Problem in Variational Data Assimilation“ auf arXiv. Variationsdatenassimilation kombiniert Messdaten mit dynamischen Modellen und wird unter anderem für Wetter- und Meeresvorhersagen eingesetzt. Dabei entstehen großskalige verallgemeinerte nichtlineare Least-Squares-Probleme; die daraus hervorgehenden dünn besetzten linearen Teilprobleme müssen wiederholt gelöst werden.

Weil die Rechenressourcen begrenzt sind, können Krylov-Unterraumverfahren oft nur wenige Iterationen durchführen. Hochwertige Vorkonditionierer sind deshalb entscheidend. Der Beitrag führt Variationsdatenassimilation aus Sicht der numerischen linearen Algebra ein und gibt einen Überblick über Lösungstechniken und Herausforderungen in großskaligen geophysikalischen Systemen.

Ein weiteres arXiv-Papier aus dem Jahr 2025, „Efficient Dynamic Image Reconstruction with motion estimation“, entstand mit Toluwani Okunola, Mirjeta Pasha und Misha Kilmer. Es trägt die Nummer 2501.12497 und umfasst 27 Seiten. Dynamische inverse Probleme sind wegen ihrer Größe rechenintensiv und brauchen geeignete räumliche und zeitliche Regularisierung. Neben kantenverstärkender räumlicher Regularisierung wird eine zeitliche Regularisierung mit einem Bewegungsmodell vorgeschlagen. Ein optisches Flussmodell schätzt gleichzeitig Objektbewegungen und eine Näherung des gesuchten Bildes; diese Information fließt als zusätzliche zeitliche Regularisierung in die Zielfunktion ein. Ein effizienter Algorithmus nutzt ein verallgemeinertes Krylov-Unterraumverfahren. Zu den numerischen Experimenten gehören Computertomografie mit begrenztem Winkel und Einzelaufnahme.

Im selben Jahr untersuchten T. Mach und M. A. Freitag im SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Band 46(2), Seiten 957–983, „Solving the Parametric Eigenvalue Problem by Taylor Series and Chebyshev Expansion“. Dabei geht es um Taylor- und Tschebyscheff-Entwicklungen für Eigenwerte und Eigenvektoren einer parameterabhängigen Matrix. Bei der Taylor-Methode werden Koeffizienten iterativ um einen Entwicklungspunkt (mu_0) berechnet; die Komplexität für alle Eigenpaare beträgt bei gegebenen Ableitungen der Matrix (O(n^3)).

Bei der Tschebyscheff-Methode wird zunächst iterativ eine Näherung bestimmt und anschließend mit dem Newton-Verfahren verfeinert. Sie ist teurer, liefert aber gute Approximationen über ein ganzes Intervall statt nur in der Nähe eines Punkts. Numerische Experimente bestätigen die Komplexität und zeigen, dass Eigenwerte auch an Schnittpunkten verfolgt werden können. Außerdem werden die Grenzen der Taylor-Methode bei wachsendem Abstand vom Entwicklungspunkt untersucht.

Modelle kleiner machen, ohne die entscheidenden Dinge zu verlieren

2024 veröffentlichten Melina A. Freitag, Josie König und Elizabeth Qian in den Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics bei Wiley, Artikel e202400051, „Inference-Oriented Balanced Truncation for Quadratic Dynamical Systems: Formulation for Bayesian Smoothing and Model Stability Analysis“. Bayesianische inverse Probleme mit nichtlinearen hochdimensionalen Dynamiken erfordern oft viele teure Simulationen des Vorwärtsmodells. Ein reduziertes Vorwärtsmodell soll deshalb die relevanten Dynamiken des ursprünglichen Systems erfassen.

Für Bayesianische Glättungsprobleme quadratischer dynamischer Systeme führen die Autorinnen inferenzorientierte Gramians ein. Diese definieren ein Verfahren zur Modellreduktion durch Balanced Truncation. Untersucht wird außerdem die Stabilität des entstehenden quadratisch-nichtlinearen Modells; ein numerisches Beispiel unterstützt die theoretische Analyse.

Mit J. M. Nicolaus und M. Redmann veröffentlichte Freitag 2024 auf arXiv „Nonintrusive model order reduction for stochastic differential equations“. Vorgeschlagen wird eine nichtintrusive Modellreduktion für bilineare stochastische Differentialgleichungen mit additivem Rauschen. Das reduzierte Modell approximiert statistische Eigenschaften hochdimensionaler Systeme. Drift- und Diffusionskoeffizienten werden aus Zustandsbeobachtungen über geeignete Least-Squares-Probleme bestimmt.

Die Studie untersucht die Nähe des nichtintrusiven Reduced-Order-Modells zu einem mittels Proper Orthogonal Decomposition konstruierten intrusiven Modell. Zwei Verallgemeinerungen der snapshot-basierten Konstruktion dominanter Unterräume auf den stochastischen Fall werden vorgestellt; numerische Experimente vergleichen den Ansatz mit POD.

In „Low-rank solutions to the stochastic Helmholtz equation“, erschienen 2024 im Journal of Computational and Applied Mathematics, betrachteten A. Kaya und M. A. Freitag Low-Rank-Approximationen für Lösungen der stochastischen Helmholtz-Gleichung mit